Введение
1 Предмет стереометрии
Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объемный, пространственный и «метрео» — измерять.
Простейшими и, можно сказать, основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб. Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.
В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов — оснований цилиндра и боковой поверхности.
Изучая свойства геометрических фигур — воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое (прикладное) значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.
При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств. На рисунках 2, а, б изображены два многогранника — параллелепипед и пирамида, а на рисунке 2, в — конус. При этом невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями. Правила изображения пространственных фигур приведены в приложении 1.
В течение двух лет мы будем изучать взаимное расположение прямых и плоскостей, многогранники, векторы и метод координат в пространстве, «круглые» геометрические тела — цилиндр, конус, шар и рассмотрим вопрос об объемах тел.
Оглавление
Введение
1. Предмет стереометрии
2. Аксиомы стереометрии
3. Некоторые следствия из аксиом
Вопросы и задачи
Глава I
Параллельность прямых и плоскостей
§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости
4. Параллельные прямые в пространстве
5. Параллельность трех прямых
6. Параллельность прямой и плоскости
Вопросы и задачи
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
7. Скрещивающиеся прямые
8. Углы с сонаправленными сторонами
9. Угол между прямыми
Вопросы и задачи
§ 3. Параллельность плоскостей
10. Параллельные плоскости
11. Свойства параллельных плоскостей
Вопросы и задачи
§ 4. Тетраэдр и параллелепипед
12. Тетраэдр
13. Параллелепипед
14. Задачи на построение сечений
Задачи
Вопросы к главе I
Дополнительные задачи
Глава II
Перпендикулярность прямых и плоскостей
§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости
15. Перпендикулярные прямые в пространстве
16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
Задачи
§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
19. Расстояние от точки до плоскости
20. Теорема о трех перпендикулярах
21. Угол между прямой и плоскостью
Задачи
§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
22. Двугранный угол
23. Признак перпендикулярности двух плоскостей
24. Прямоугольный параллелепипед
25*. Трехгранный угол
26*. Многогранный угол
Задачи
Вопросы к главе II
Дополнительные задачи
Глава III Многогранники
§ 1. Понятие многогранника. Призма.
27. Понятие многогранника
28*. Геометрическое тело
29*. Теорема Эйлера
30. Призма
31*. Пространственная теорема Пифагора
Задачи
§ 2. Пирамида
32. Пирамида
33. Правильная пирамида
34. Усеченная пирамида
Задачи
§ 3. Правильные многогранники
35. Симметрия в пространстве
36. Понятие правильного многогранника
37. Элементы симметрии правильных многогранников
Практические задания
Вопросы и задачи
Вопросы к главе III
Дополнительные задачи
Глава IV
Векторы и пространстве
§ 1. Понятие вектора в пространстве
38. Понятие вектора
39. Равенство векторов
Вопросы и задачи
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
40. Сложение и вычитание векторов
41. Сумма нескольких векторов
42. Умножение вектора на число
Задачи
§ 3. Компланарные векторы
43. Компланарные векторы
44. Правило параллелепипеда
45. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Вопросы и задачи
Вопросы к главе IV
Дополнительные задачи
Глава V
Метод координат в пространстве. Движение
§ 1. Координаты точки и координаты вектора
46. Прямоугольная система координат в пространстве
47. Координаты вектора
48. Связь между координатами векторов и координатами точек
49. Простейшие задачи в координатах
Вопросы и задачи
§ 2. Скалярное произведение векторов
50. Угол между векторами
51. Скалярное произведение векторов
52. Вычисление углов между прямыми и плоскостями
53*. Уравнение плоскости
Задачи
§ 3. Движения
54. Центральная симметрия
55. Осевая симметрия
56. Зеркальная симметрия
57. Параллельный перенос
58*. Преобразование подобия
Задачи
Вопросы к главе V
Дополнительные задачи
Глава VI
Цилиндр, конус, шар
§ 1. Цилиндр
59. Понятие цилиндра
60. Площадь поверхности цилиндра
Задачи
§ 2. Конус
61. Понятие конуса
62. Площадь поверхности конуса
63. Усеченный конус
Задачи
§ 3. Сфера
64. Сфера и шар
65. Уравнение сферы
66. Взаимное расположение сферы и плоскости
67. Касательная плоскость к сфере
68. Площадь сферы
69*. Взаимное расположение сферы и прямой
70*. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность
71*. Сфера, вписанная в коническую поверхность
72*. Сечения цилиндрической поверхности
73*. Сечения конической поверхности
Задачи
Вопросы к главе VI
Дополнительные задачи
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар
Глава VII Объемы тел
§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда
74. Понятие объема
75. Объем прямоугольного параллелепипеда
Задачи
§ 2. Объемы прямой призмы и цилиндра
76. Объем прямой призмы
77. Объем цилиндра
Вопросы и задачи
§ 3. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса
78. Вычисление объемов тел с помощью интеграла
79. Объем наклонной призмы
80. Объем пирамиды
81. Объем конуса
Задачи
§ 4. Объем шара и площадь сферы
82. Объем шара
83. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора
84*. Площадь сферы
Вопросы и задачи
Вопросы к главе VII
Дополнительные задачи
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар
Задачи для повторения
Задачи повышенной трудности
Глава VIII Некоторые сведения из планиметрии
§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью
85. Угол между касательной и хордой
86. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью
87. Углы с вершинами внутри и вне круга
88. Вписанный четырехугольник
89. Описанный четырехугольник
Задачи
§ 2. Решение треугольников
90. Теорема о медиане
91. Теорема о биссектрисе треугольника
92. Формулы площади треугольника
93. Формула Герона
94. Задача Эйлера
Задачи
§ 3. Теоремы Менелая и Чевы
95. Теорема Менелая
96. Теорема Чевы
Задачи
§ 4. Эллипс, гипербола и парабола
97. Эллипс
98. Гипербола
99. Парабола
Задачи
Приложения
1. Изображение пространственных фигур
1. Параллельная проекция фигуры
2. Изображение фигуры
3. Изображение плоских фигур
4. Изображение пространственных фигур
2. Об аксиомах геометрии
Ответы и указания
Предметный указатель
|
