Дорогие семиклассники!
Вы начинаете изучать новый предмет — геометрию и будете заниматься ею пять лет. Что это такое — геометрия?
Геометрия — одна из самых древних наук, она возникла очень давно, еще до нашей эры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» — по-гречески земля, а «метрео» — мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей, а в дальнейшем сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.
На уроках математики вы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и представляете себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол, как они могут быть расположены относительно друг друга. Вы знакомы с такими фигурами, как треугольник, прямоугольник, окружность, круг и др. ; знаете, как измеряются отрезки с помощью линейки с миллиметровыми делениями и как измеряются углы с помощью транспортира. Но все это лишь самые первые геометрические сведения. Теперь вам предстоит расширить и углубить ваши знания о геометрических фигурах. Вы познакомитесь с новыми фигурами и со многими важными и интересными свойствами уже известных вам фигур. Вы узнаете о том, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности. Во всем этом вам поможет учебник и, конечно, учитель.
Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники, прямоугольники. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких, как параллелепипед, шар, цилиндр. Мы начнем изучение геометрии с планиметрии.
В процессе изучения геометрии Вы будете доказывать теоремы и решать задачи. Что такое «теорема» и что значит «доказать теорему» — об этом вы скоро узнаете. Ну, а что такое задача — вам известно, на уроках математики вы решали разные задачи.
В нашем учебнике геометрии много задач: есть задачи и практические задания к каждому параграфу, дополнительные задачи к каждой главе и, наконец, задачи повышенной трудности. Основными являются задачи к параграфу. Более трудные задачи отмечены звездочкой. В конце книги к задачам даны ответы и указания.
Всем, кто проявит интерес к геометрии, кому понравится решать задачи и доказывать теоремы, мы советуем порешать не только обязательные задачи, но и задачи со звездочкой, дополнительные задачи и задачи повышенной трудности. Решать такие задачи непросто, но интересно. Не всегда удается сразу найти решение. В таком случае не унывайте, а проявите терпение и настойчивость. Радость от решения трудной задачи будет вам наградой за упорство. Не бойтесь заглядывать вперед, читать те параграфы, которые еще не проходили в классе. Задавайте вопросы учителю, товарищам, родителям.
Доброго вам пути, ребята!
Оглавление
Введение
Глава I Начальные геометрические сведения
§ 1. Прямая и отрезок
1. Точки, прямые, отрезки
2. Провешивание прямой на местности
Практические задания
§ 2. Луч и угол
3. Луч
4. Угол
Практические задания и вопросы
§ 3. Сравнение отрезков и углов
5. Равенство геометрических фигур
6. Сравнение отрезков и углов
Вопросы и задачи
§ 4. Измерение отрезков
7. Длина отрезка
8. Единицы измерения. Измерительные инструменты
Практические задания
Вопросы и задачи
§ 5. Измерение углов
9. Градусная мера угла
10. Измерение углов на местности
Практические задания
Вопросы и задачи
§ 6. Перпендикулярные прямые
11. Смежные и вертикальные углы
12. Перпендикулярные прямые
13. Построение прямых углов на местности
Практические задания
Вопросы и задачи
Вопросы для повторения к главе I
Дополнительные задачи
Глава II Треугольники
§ 1. Первый признак равенства треугольников
14. Треугольник
15. Первый признак равенства треугольников
Практические задания
Вопросы и задачи
§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
16. Перпендикуляр к прямой
17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
18. Свойства равнобедренного треугольника
Практические задания
Задачи
§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников
19. Второй признак равенства треугольников
20. Третий признак равенства треугольников
Задачи
§ 4. Задачи на построение
21. Окружность
22. Построения циркулем и линейкой
23. Примеры задач на построение
Вопросы и задачи
Вопросы для повторения к главе II
Дополнительные задачи
Глава III Параллельные прямые
§ 1. Признаки параллельности двух прямых
24. Определение параллельности прямых
25. Признаки параллельности двух прямых
26. Практические способы построения параллельных прямых
Вопросы и задачи
§ 2. Аксиома параллельных прямых
27. Об аксиомах геометрии
28. Аксиома параллельных прямых
29. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными
прямыми и секущей
Вопросы и задачи
Вопросы для повторения к главе III
Дополнительные задачи
Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника
§ 1. Сумма углов треугольника
30. Теорема о сумме углов треугольника
31. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный
треугольники
Задачи
§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника
32. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
33. Неравенство треугольника
Вопросы и задачи
§ 3. Прямоугольные треугольники
34. Некоторые свойства прямоугольных треугольников
35. Признаки равенства прямоугольных треугольников
36*. Уголковый отражатель
Задачи
§ 4. Построение треугольника по трем элементам
37. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми
38. Построение треугольника по трем элементам
Вопросы и задачи
Задачи на построение
Вопросы для повторения к главе IV
Дополнительные задачи
Задачи повышенной трудности
Задачи к главе I
Задачи к главе II
Задачи к главам III и IV
Задачи на построение
Глава V Четырехугольники
§ 1. Многоугольники
39. Многоугольник
40. Выпуклый многоугольник
41. Четырехугольник
Вопросы и задачи
§ 2. Параллелограмм и трапеция
42. Параллелограмм
43. Признаки параллелограмма
44. Трапеция
Задачи
§ 3. Прямоугольник, ромб, квадрат
45. Прямоугольник
46. Ромб и квадрат
47. Осевая и центральная симметрии
Вопросы и задачи
Вопросы для повторения к главе V
Дополнительные задачи
Глава VI Площадь
§ 1. Площадь многоугольника
48. Понятие площади многоугольника
49*. Площадь квадрата
50. Площадь прямоугольника
Вопросы и задачи
§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
51. Площадь параллелограмма
52. Площадь треугольника
53. Площадь трапеции
Задачи
§ 3. Теорема Пифагора
54. Теорема Пифагора
55. Теорема, обратная теореме Пифагора
Задачи
Вопросы для повторения к главе VI
Дополнительные задачи
Глава VII Подобные треугольники
§ 1. Определение подобных треугольников
56. Пропорциональные отрезки
57. Определение подобных треугольников
58. Отношение площадей подобных треугольников
Вопросы и задачи
§ 2. Признаки подобия треугольников
59. Первый признак подобия треугольников
60. Второй признак подобия треугольников
61. Третий признак подобия треугольников
Вопросы и задачи
§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач
62. Средняя линия треугольника
63. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
64. Практические приложения подобия треугольников
65. О подобии произвольных фигур
Вопросы и задачи
Задачи на построение
§ 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
66. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
67. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов
30°, 45° и 60°
Задачи
Вопросы для повторения к главе VII
Дополнительные задачи
Глава VIII Окружность
§ 1. Касательная к окружности
68. Взаимное расположение прямой и окружности
69. Касательная к окружности
Задачи
§ 2. Центральные и вписанные углы
70. Градусная мера дуги окружности
71. Теорема о вписанном угле
Задачи
§ 3. Четыре замечательные точки треугольника
72. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку
73. Теорема о пересечении высот треугольника
Задачи
§ 4. Вписанная и описанная окружности
74. Вписанная окружность
75. Описанная окружность
Задачи
Вопросы для повторения к главе VIII
Дополнительные задачи
Глава IX Векторы
§ 1. Понятие вектора
76. Понятие вектора
77. Равенство векторов
78. Откладывание вектора от данной точки
Практические задания
Вопросы и задачи
§ 2. Сложение и вычитание векторов
79. Сумма двух векторов
80. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
81. Сумма нескольких векторов
82. Вычитание векторов
Практические задания
Вопросы и задачи
§ 3. Умножение вектора на число. Применение векторов
к решению задач
83. Произведение вектора на число
84. Применение векторов к решению задач
85. Средняя линия трапеции
Практические задания
Задачи
Вопросы для повторения к главе IX
Дополнительные задачи
Задачи повышенной трудности
Задачи к главе V
Задачи к главе VI
Задачи к главе VII
Задачи к главе VIII
Задачи к главе IX
Глава X
Метод координат
§ 1. Координаты вектора
86. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
87. Координаты вектора
Задачи
§ 2. Простейшие задачи в координатах
88. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
89. Простейшие задачи в координатах
Задачи
§ 3. Уравнения окружности и прямой
90. Уравнение линии на плоскости
91. Уравнение окружности
92. Уравнение прямой
Задачи
Вопросы для повторения к главе X
Дополнительные задачи
Глава XI
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов
§ 1. Синус, косинус, тангенс угла
93. Синус, косинус, тангенс
94. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения
95. Формулы для вычисления координат точки
Задачи
§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника
96. Теорема о площади треугольника
97. Теорема синусов
98. Теорема косинусов
99. Решение треугольников
100. Измерительные работы
Задачи
§ 3. Скалярное произведение векторов
101. Угол между векторами
102. Скалярное произведение векторов
103. Скалярное произведение в координатах
104. Свойства скалярного произведения векторов
Задачи
Вопросы для повторения к главе XI
Дополнительные задачи
Глава XII
Длина окружности и площадь круга
§ 1. Правильные многоугольники
105. Правильный многоугольник
106. Окружность, описанная около правильного многоугольника
107. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
108. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности
109. Построение правильных многоугольников
Вопросы и задачи
§ 2. Длина окружности и площадь круга
110. Длина окружности
111. Площадь круга
112. Площадь кругового сектора
Вопросы и задачи
Вопросы для повторения к главе XII
Дополнительные задачи
Глава XIII
Движения
§ 1. Понятие движения
113. Отображение плоскости на себя
114. Понятие движения
115*. Наложения и движения
Задачи
§ 2. Параллельный перенос и поворот
116. Параллельный перенос
117. Поворот
Задачи
Вопросы для повторения к главе XIII
Дополнительные задачи
Глава XIV
Начальные сведения из стереометрии
§ 1. Многогранники
118. Предмет стереометрии
119. Многогранник
120. Призма
121. Параллелепипед
122. Объем тела
123. Свойства прямоугольного параллелепипеда
124. Пирамида
Вопросы и задачи
§ 2. Тела и поверхности вращения
125. Цилиндр
126. Конус
127. Сфера и шар
Вопросы и задачи
Вопросы к главе XIV
Дополнительные задачи
Задачи повышенной трудности
Задачи к главе X
Задачи к главе XI
Задачи к главе XII
Задачи к главе XIII
Задачи к главе XIV
Приложения
1. Об аксиомах планиметрии
2. Некоторые сведения о развитии геометрии
Ответы и указания
Предметный указатель
|
